TEORÍA DE CONJUNTOS

-         CONCEPTO DE CONJUNTO

Un conjunto está formado por objetos materiales o abstractos, todos distintos, a los que llamamos elementos o elementos pertenecientes al conjunto. Se representan entre llaves.

Los conjuntos unitarios son conjuntos formados por un solo elemento; y los conjuntos sin elementos se le llaman elemento vacío. 

Un ejemplo sería: 

"Determinar el conjunto de letras que forman la frase “didáctica de la matemática en educación infantil”, prescinde de los acentos."

 Dicho conjunto estaría formado por las letras: a,c,d,e,f,i,l,m,n,o,t,u.

-        LA INCLUSIÓN

Dados dos conjuntos de A y B, diremos que A está contenido o incluido en B, o que es una parte o un subconjunto de B, si todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B.

Dos conjuntos A y B son iguales (A=B) cuando a la vez se cumple que A C B y B C A, es decir que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Por extensión: consiste en enunciar todos sus elementos.

Por comprensión: consiste en enunciar una propiedad p que cumplen o poseen todos sus elementos y solo ellos.

DIAGRAMAS DE VENN

Se acostumbra a representar un conjunto mediante una porción del plano limitada por una curva cerrada.

Dos conjuntos serán disjuntos cuando su intersección es el vacío. Ejemplo: el conjunto de los números pares y el de los números impares.

UNIÓN E INTERSECCIÓN

Unión de los conjuntos A y B: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.

Intersección de los conjuntos A y B: conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

¿Cuál sería la intersección de los múltiplos de 4 con los números pares? Los múltiplo de 4 porque todos son pares.

      COMPLEMENTARIO

Se llama complementario de A, con respecto al universo U, al conjunto formado por todos los elementos de U que se pertenece a A.

El complementario del complementario de A era A; así mismo, el complementario de todo es el vacío.

        RELACIONES

Una relación R en un conjunto A es una correspondencia entre sus elementos, definida por alguna afirmación referida a parejas de elementos a,b del conjunto, sobre la que se puede decir de modo inequívoco y para siempre se es verdadera o falsa. En el caso de ser verdadera diremos que los dos elementos están relacionado y se escribirá aRb. 

Una relación se va a llamar de equivalencia cuando cumple las propiedades siguientes:

§  Reflexiva aRa, para todo elemento a E A

§  Simetrica si aRb también bRa, siendo a,b E A.

§  Transitiva si aRb y bRc también aRc siendo a,b,c E A.

Son A un conjunto y ≡ una relación de equivalencia definida en el mismo. Al conjunto formado por todas las clases de equivalencia se le llama conjunto cociente y se le denota por A/≡.

Una relación R definida en un conjunto A es una relación de orden parcial, cuando cumple las propiedades:

§  Refexiva aRa para todo elemento a E A.

§  Antisimétrica si aRb y bRa, entonces a=b siendo a,b E A.

§  Transitiva si aRb y bRc también aRc siendo a,b,c E A.

Una relación de orden ≤ en un conjunto A es total cuando a≤b o b≤a, para todo por a,b E A. En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado por la relación.

APLICACIONES  

 Una aplicación f de un conjunto A en otro B es una correspondencia que asigna a cada elemento a E A un único elemento b E B llamado imagen de a.

 

Una aplicación f: A -> B se dice que es inyectiva cuando a elementos distintos x≠y, a, y E A, asigna imágenes distintas f(x) ≠ f(y). f(y), f(x), f(y) E B. Es decir, cuando no haya elementos distintos de A con la misma imagen en B. (Puede haber algún elemento del segundo sin flecha o bien hay una sola flecha para cada elemento)

Una aplicación f: A->B se dice que es epiyectiva o sobreyectiva cuando todo elemento b E B es imagen de algún elemento a E A, es decir, cuando ningún elemento de B se quede sin ser imagen de algún elemento de A. 

Una plicación f: A-> B se dice que es biyectiva, o que es una correspondencia biomivoca entre ambos conjuntos, cuando sea a la vez inyectiva y sobreyectiva.